Numeri divisibili per 11: il trucco per riconoscerli subito
In sintesi. Un numero è divisibile per 11 quando la somma alternata delle sue cifre vale 0 oppure è un multiplo di 11. Si sommano e si sottraggono le cifre a turno, senza dividere. Il numero 539 è divisibile per 11 perché 5 – 3 + 9 dà 11; il numero 544 no, perché 5 – 4 + 4 dà 5.
I punti chiave
- Un numero è divisibile per 11 se la somma alternata delle sue cifre vale 0 o è un multiplo di 11.
- Il numero 539 è divisibile per 11: la sua somma alternata, 5 – 3 + 9, vale 11 e 539 ÷ 11 dà 49 con resto 0.
- Il numero 544 non è divisibile per 11: la sua somma alternata vale 5 e 544 ÷ 11 dà 49 con resto 5.
- Il numero 2759 non è divisibile per 11: la sua somma alternata vale –9 e 9 non è un multiplo di 11.
- I multipli di 11 formati da due cifre uguali sono nove, da 11 a 99, e il numero 111 non è multiplo di 11.
Un numero è divisibile per 11 se la somma alternata delle sue cifre vale 0 oppure è un multiplo di 11. Basta sommare e sottrarre le cifre a turno, senza fare la divisione.
Perché i multipli di 11 si riconoscono a occhio solo fino a 99
I multipli di 11 formati da due cifre uguali sono nove: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 e 99. Dopo il 100 la regola delle cifre ripetute smette di funzionare.
Il numero 111, per esempio, non è multiplo di 11. Dopo 11 × 10 = 110, il multiplo successivo è 110 + 11 = 121.
Con numeri come 539 e 544 l’intuito non basta: solo uno dei due è divisibile per 11, ma capire quale a colpo d’occhio è difficile.
Come si calcola la somma alternata delle cifre
Il criterio di divisibilità per 11 si applica in pochi passaggi:
- si prendono le cifre del numero, dalla prima all’ultima oppure dall’ultima alla prima;
- si alternano somma e sottrazione: più la prima, meno la seconda, più la terza e così via;
- se il risultato è 0 o un multiplo di 11, il numero è divisibile per 11;
- se il risultato è negativo, si toglie il segno meno e si controlla il valore che resta.
Tre esempi: 539, 544 e 2759
| Numero | Somma alternata | Divisibile per 11? |
|---|---|---|
| 539 | 5 – 3 + 9 = 11 | Sì: 539 ÷ 11 = 49, resto 0 |
| 544 | 5 – 4 + 4 = 5 | No: 544 ÷ 11 = 49, resto 5 |
| 2759 | 2 – 7 + 5 – 9 = –9 | No: 9 non è multiplo di 11 |
Il numero 539 è quindi divisibile per 11, perché la sua somma alternata è 11 e vale 49 × 11.
Il numero 544 non lo è, perché la sua somma alternata è 5, che non è un multiplo di 11.
Per 2759 la somma alternata è negativa, –9. Tolto il segno meno resta 9, che non è multiplo di 11, quindi neppure 2759 lo è.
Cosa fare quando il numero è molto lungo
Se la somma alternata dà un risultato grande, si ripete la procedura sul risultato.
Un esempio è il numero di 34 cifre 9190909090909090909191919191919191: la sua somma alternata è 144. Applicando di nuovo il criterio si ottiene 1 – 4 + 4 = 1, che non è multiplo di 11. Di conseguenza il numero di partenza non è divisibile per 11.
Perché il criterio funziona
Il metodo si basa sul fatto che 100 = 99 + 1 e che 10 = 11 – 1. Con questa sostituzione si può riscrivere 539 in modo da isolare i multipli di 11.
- 539 = 5 × 100 + 3 × 10 + 9
- 539 = 5 × (99 + 1) + 3 × (11 – 1) + 9
- applicando la proprietà distributiva: 539 = 5 × 99 + 5 × 1 + 3 × 11 – 3 × 1 + 9
- riordinando gli addendi: 539 = 5 × 99 + 3 × 11 + 5 – 3 + 9
In questa scrittura, 5 × 99 e 3 × 11 sono multipli di 11. Il resto, 5 – 3 + 9, è la somma alternata delle cifre e vale 11. Il numero 539 è dunque la somma di tre multipli di 11 e si divide per 11 senza resto.
Lo stesso calcolo su 544 dà 544 = 5 × 99 + 4 × 11 + 5. Qui 5 × 99 e 4 × 11 sono multipli di 11, ma il 5 che resta non lo è. Per questo anche la somma complessiva non può essere un multiplo di 11.
Domande frequenti
Come si capisce se un numero è divisibile per 11?
Si sommano e si sottraggono le cifre a turno: più la prima, meno la seconda, più la terza e così via. Se il risultato è 0 o un multiplo di 11, il numero è divisibile per 11.
539 è divisibile per 11?
Sì, 539 è divisibile per 11. La sua somma alternata è 5 – 3 + 9 = 11, e infatti 539 ÷ 11 dà 49 con resto 0.
Come si usa il criterio del 11 se la somma alternata è negativa?
Si toglie il segno meno e si controlla il valore che resta. Per il numero 2759 la somma alternata è –9: resta 9, che non è multiplo di 11, quindi 2759 non è divisibile per 11.
Come si controlla se un numero molto lungo è divisibile per 11?
Si calcola la somma alternata delle cifre e, se il risultato è grande, si ripete la procedura sul risultato. Nel caso di una somma alternata pari a 144 si ottiene 1 – 4 + 4 = 1, che non è multiplo di 11, quindi il numero di partenza non è divisibile per 11.
Perché il criterio di divisibilità per 11 funziona?
Il metodo si basa sul fatto che 100 = 99 + 1 e che 10 = 11 – 1. Riscrivendo il numero con queste sostituzioni restano dei multipli di 11 più la somma alternata delle cifre, ed è questa somma a decidere se il numero è divisibile per 11.
Fonte: Geopop
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